∫ 1/(2x² - 1) dx
= ∫ 1/[(√2x - 1)(√2x + 1)] dx
= (1/2√2)∫ [(√2x + 1) - (√2x - 1)]/[(√2x - 1)(√2x + 1)] d(√2x)
= (1/2√2)∫ [1/(√2x - 1) - 1/(√2x + 1)] d(√2x)
= (1/2√2)(ln|√2x - 1| - ln|√2x + 1|) + C
= ln|(√2x - 1)/(√2x + 1)|/(2√2) + C
_______________________________
∫ 1/(4x² + 4x - 3) dx
= ∫ 1/[(2x - 1)(2x + 3)] dx
= (1/8)∫ [1/(2x - 1) - 1/(2x + 3)] d(2x)
= (1/8)ln|(2x - 1)/(2x + 3)| + C
______________________________
∫ (tan²x + tan⁴x) dx
= ∫ tan²x(1 + tan²x) dx
= ∫ tan²x • sec²x dx
= ∫ tan²x dtanx
= (1/3)tan³x + C
_________________________
∫ cosx • cos(x/2) dx
= (1/2)∫ [cos(x + x/2) + cos(x - x/2)] dx
= (1/2)∫ [cos(3x/2) + cos(x/2)] dx
= (1/2)[(2/3)sin(3x/2) + 2sin(x/2)] + C
= (1/3)sin(3x/2) + sin(x/2) + C
______________________________
∫ (2x + 1)/(x² - 2x + 2) dx
= ∫ (2x - 2)/(x² - 2x + 2) dx + 3∫ dx/(x² - 2x + 2)
= ∫ d(x² - 2x + 2)/(x² - 2x + 2) + 3∫ dx/[(x - 1)² + 1]
= ln|x² - 2x + 2| + 3arctan(x - 1) + C
_______________________________
∫ x²/√(4 - x²) dx，x = 2sinθ，dx = 2cosθ dθ
= ∫ 4sin²θ/(2cosθ) • 2cosθ dθ
= 2∫ (1 - cos2θ) dθ
= 2θ - 2 • 1/2sin2θ + C
= 2arcsin(x/2) - 2(x/2)[√(4 - x²)/2] + C
= 2arcsin(x/2) - (x/2)√(4 - x²) + C
______________________________
∫ 1/[x²√(x² - 1)] dx，x = secθ，dx = secθtanθ dθ
= ∫ secθtanθ/(sec²θ • tanθ) dθ
= ∫ cosθ dθ
= sinθ + C
= √(x² - 1)/x + C
_______________________________
∫ √(x² - 1)/x dx，x = secθ，dx = secθtanθ dθ
= ∫ tanθ/secθ • secθtanθ dθ
= ∫ tan²θ dθ
= ∫ (sec²θ - 1) dθ
= tanθ - θ + C
= √(x² - 1) - arcsecx + C
= √(x² - 1) - arccos(1/x) + C
追问首先，非常谢谢你再次帮我解决问题，不过这块对我来说有点难，有几个地方不明白：
1，第一题和第二题应该是同一个题型的吧，到倒数第二步的时候我还看得懂，但是怎么变化到最后一步的就不大明白了，那个ln| / |这个形态不知道是怎么过来的？
2，第四题你的答案我觉得是对的！但是我书上的答案不一样，你看看是不是书的答案错了，答案是：原式=> 2∫(2cos^2(x/2)-1)d(sin(x/2))=2sin(x/2)-(4/3)sinx^3(x/2)+C
追答lnA - lnB = ln(A/B)
没问题，只是我用了积化和差公式，而你那个用了倍角公式
cos2x = 1 - 2sin²x => cosx = 1 - 2sin²(x/2)
∫ cosx • cos(x/2) dx
= 2∫ [1 - 2sin²(x/2)] d[sin(x/2)]
= 2sin(x/2) - 4/3 • sin³(x/2) + C
追问厉害啊，那后面3道题应该是通过三角函数的公式来做的，但有两个疑问：1，要如何判断这个根式是要用三角函数来做的，还是直接通过第一类换元法。2，最后代回原式的时候，那个是怎么化简的比如：= 2arcsin(x/2) - 2(x/2)[√(4 - x²)/2] + C
= 2arcsin(x/2) - (x/2)√(4 - x²) + C
谢谢！
追答如果有√(a² - x²)这样的形式就要用三角函数代换
但如果是x√(a² - x²)，或x/√(a² - x²)这样的，可以通过凑微分
√(a² - x²) d(x²/2) = -1/2 • √(a² - x²) d(a² - x²)
1/√(a² - x²) d(x²/2) = -1/2 • 1/√(a² - x²) d(a² - x²)
开始时设了x = 2sinθ，sinθ = x/2，画个直角三角形
对边是x，斜边是2，邻边是√(4 - x²)，cosθ就是√(4 - x²)/2
将这些代回2θ - 2 • sinθcosθ就好了
sinθ = x/2 => θ = arcsin(x/2)，反三角正弦函数