在一个三角形中，2条边的中线交与一点，连接剩下的顶点与交点，延长，与一边相交于点M。如何证明

Question

如何证明M是那条边的中点？ 不要假设，不要用塞瓦定理，要直接证明

Answer 1

我提供一种利用面积的证法
在△ABC中，D,E分别为BC，AC中点，连接AD，BE交于点O，连接CO交AB于点F
下证F为AB中点
设△BOD，△COD，△COE，△AOE，△AOF，△BOF的面积分别为①②③④⑤⑥
显然，①＝②，③＝④，且①+⑤+⑥=②+③+④,①+②+③=④+⑤+⑥
两者结合得：⑤＋⑥＝2③，⑤＋⑥＝2①
所以①＝③，所以①＝②＝③＝④
所以①＋②＝③＋④，即S△OBC＝S△OAC
因为S△OBC与S△OAC有公共底OC，所以它们等高
所以对于△OBF与△OAF的公共底OF来说两三角形等高
所以S△OBF＝S△OAF，所以AF=BF，所以F为AB中点