一、数学的和谐美体现在数学教学语言运用的艺术性
1、优美的数学教学语言应把握一个词——准确
数学教师对定义、定理、公理的叙述要准确，不应该使学生产生疑问和误解。例如，“对应角相等”与“角对应相等”，“切线”与“切线长”是完全不同的两个概念；又如“平分弦的直径垂直于弦”，“所有的质数都是奇数”，这类语言就缺乏准确性。
必须用科学的数学术语来授课，不能用生造的土话或方言来表达概念、性质、定理等。比如，把“线段的中点”讲成“在线段中间的点”就不准确。如果教师的语言不够准确规范，会使学生对数学知识产生模糊的理解。
2、优美的数学教学语言要把握一个词——严密
数学逻辑的严密性，既是数学的特点，又是数学所追求的目的。恩格斯说：“数学以确定的完全现实的材料作为自己的对象，不过它考察一对象时完全弃其具体内容和本质的特点。”尽管数学概念本身以及它的结论、方法都是反映现实世界的，但它仍是在纯粹形式下进行研究的。
3、优美的数学教学语言还要把握一个词——情感
数学教学语言应力求亲切，富有情绪。数学语言是师生双方传递和交流思想感情的载体，亲切、感人的教学语言最能使学生保持积极舒畅的学习心境，最能唤起学生的热情，从而产生不可低估的力量。
教师在教学中，无论是讲授知识，还是对待学生，语言都应亲切，富有情感。许多专家也认为：智力源于情感，情感支配智力。对人的成功而言，情感智力比通常的心智活动的进行和智力水平的提高，更具有积极的意义，这是其他任何语言所无法替代的。
二、数学的和谐美体现在形式的简单性和应用的广泛性的统一
数学的特点决定了数学形式的简单性和应用的广泛性，简单性是美的特征，也是数学所要求的，大千世界无奇不有、杂乱无章的自然现象中抽象出数学概念，再用简单的数学形式表示，然后反过来又解释更多现象，这正是数学的威力美的体现。
世界上存在着何其多的三角形，形式之多令人难以想象，然而三角形面积公式12ah(a为底边，h为底边上的高)适用于任何三角形，以次还能推出所有多边形的面积。形式多么简单，而应用如此之广泛。
三、数学中的和谐美还体现在对称性和和谐性的统一
对称就是整体各部分间的相称与相适应，和谐就是协调。对称和和谐都是形式美的要求，它给人们一种圆满的匀称的美感。因为自然界本身是对称的、和谐的、有规律的，所以反映到数学上即表现为数学的对称性和和谐性。
数学中的对称性和和谐性处处可见：古希腊欧几里德的《几何原理》建立了一个美妙的平面几何体系，两千多年来获得了多少的赞叹，以致一些大科学家称它为“雄伟的建筑”。
几何中的中心对称、轴对称、镜像对称，多能给人以舒适美观之感、呈现着对称性。当然其它还有很多，像函数和反函数的图像，关于直线y=x对称等等。
总之，数学语言是一种特殊的语言，它简练、概括、精确，富于形象化、理想化，这就要求数学教师必须把握住教学语言的“准确”、“严密”、“风趣”、“情感”，教育过程中使简单性和应用的广泛性、对称性和和谐性和谐。
美是和谐的．和谐性也是数学美的特征之一．
和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性．
没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。 —— Carus,Paul
数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式： ，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出 ，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
欧拉公式：e^iπ+1=0. ，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是 ：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。――（1）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”。
和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比 ，即0.61803398…。
在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。建筑物的窗口，宽与高度的比一般为 ；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23:37（体温）约为0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。
黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割比 为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。与 有关的问题还有许多， “黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之无愧。本回答被提问者和网友采纳