什么叫切线？请给出定义！《《《由函数f(x)表示的曲线的切线一定存在斜率吗？为什么?

Question

在某局部与曲线相切了，在另外的某处该切线与曲线相交，咋么理解这种相切？

Answer 1

高中只给出了圆和椭圆的切线的定义，那就是和圆（或椭圆）只有1个交点的直线。像抛物线就没有给出确切定义。
高等数学中对切线有确切定义。简单点说，连接曲线上任意两点A、B可以做一条割线，固定A不动，逐渐移动B向A靠近，割线AB的斜率在不断变化，当B趋向于A（就是无限接近A）时，这条线被称为曲线在A点切线。
曲线的切线不一定存在斜率，就是切线垂直于x轴就没有斜率了。比如说f(x)=根号(1-x²)，这是以原点为圆心，1为半径的上半圆，它在(-1,0)以及(1,0)这两点都有切线，都垂直于x轴，所以没有斜率
LS说“切线和曲线只有一个交点”是不对的，比如f(x)=sinx，y=1就是一条切线，但它于f(x)有无穷多个交点。
所以在中学数学里只能感受一下，一条直线刚刚好碰到一条曲线，稍微移一点就可能碰不到了，那就是切线。
抛物线的切线和抛物线应该只有一个交点，但和抛物线只有一个交点的直线不一定是切线，比如抛物线的对称轴
对于圆和椭圆，切线和只有一个交点的直线是等价的。追问

谢谢你。请问：f(x)=X^3在x=0处的切线是x轴吗？如果是，怎么理解这种相切?

追答

是的。取曲线上(0,0)这一点附近的一点比如(1,1)连一条割线，然后逐渐移动(1,1)这点向原点靠近，当无限趋近于与原点时就是切线x=0
我以前高中的时候也无法理解，不过到了大学里就懂了，f(x)在某一点的导数就是这一点切线的斜率。

追问

高中也知道导数值就是斜率。但是我是想知道相切的准确定义，在某局部与曲线相切了，在另外的某处该切线与曲线相交，咋么理解这种相切？还有就是这个三次函数在0处的切线。怎么定义相切？

追答

http://baike.baidu.com/view/36416.htm
相切确实是一个局部的性质，至于在另外某一点相交是无所谓的

Answer 2

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确的说，当切线经过曲线上的某点(即切点)时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。你就记得切线和曲线只有一个交点就可以了。
切线不一定存在斜率。所有与y轴平行的直线都不存在斜率。追问

你说的这些我当然知道，请回答我的问题：（1）切线的定义（2）由函数f(x)表示的曲线的切线一定存在斜率吗？为什么?

Answer 3

与圆只有一个交点的直线~~