一串数 1,4,7,10,...,697,700将所有这些数相乘,试求所得的尾部的0的个数

Question

如题所述

Answer 1

这串数被3除都余1；
因为，乘积的尾部的每一个0，都是由一个2和一个5相乘得来的，
所以，乘积的尾部有多少个0，关键看有多少个质因数2和5；
显然，被2整除的数比被5整除的数多，即：质因数2的个数比质因数5的个数多，
可得：有多少个质因数5，乘积的尾部就有多少个0；

被5整除的数至少含有1个质因数5，在这串数中被5整除的相邻的两个数相差 5×3 = 15 ，
这样的数有：10,25,...,700，共 (700-10)÷15+1 = 47 个；
被25整除的数至少含有2个质因数5，在这串数中被25整除的相邻的两个数相差 25×3 = 75 ，
这样的数有：25,100,...,700，共 (700-25)÷75+1 = 10 个；
被125整除的数至少含有3个质因数5，这串数中被125整除的相邻的两个数相差 125×3 = 375 ，
这样的数有：250,625，共 2 个；
被625整除的数至少含有4个质因数5，这串数中被625整除的相邻的两个数相差 625×3 = 1875 ，
这样的数有：625，共 1 个；

因为，质因数5的个数为 47+10+2+1 = 60 ，
所以，乘积的尾部的0的个数为 60 。