方阵a不等于0a的k次等于零则a不能对角化

Question

如题所述

Answer 1

反证法。
如果 A 能对角化，设 λ 是 A 的一个特征值，x 是它对应的特征向量，则：A x = λ x
所以：A^2 x = A (A x) = A (λ x) = λ (A x) = λ (λ x) = λ^2 x
同理，这么推下去，得到：A^k x = λ^k x
因为 A^k = 0，所以 λ = 0
也就是说：A 的所有特征值都是 0。
所以，存在可逆阵 P，使得：A = P D P^(-1)
其中，D 是对角元素全为 0 的对角阵，也就是全零矩阵。
所以，这么乘出来后，A = 0
矛盾，证完了。