在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,求:
(1)点M的轨迹方程;
(2)向量OM的最小值。注:第一问用参数方程法求解。
结果为(1/x)^2+(2/y)^2=1。现急求第二问过程,且第二问答案是3。求高手
嗯,答案是正确的。离心率是二分之根号三,别看错了。
为什么第二问相当于找x^2+y^2再开根号怕最小值?
1、c=√3,焦点在Y轴,a=1,b=2,方程为x^2+y^2/4=1,
参数方程为:x=cost,y=2sint,(0<t<π/2)
设在椭圆上第一象限任意一点P(x0,y0),
根据隐函数求导,2x+2y*y’/4=0,y’=-2x/y,
在x=x0处,切线斜率为-2x0/y0,
切线方程为:y=-2x0*x/y0+(2x0^2+y0^2)/y0,
A坐标((4x0^2+y0^2)/4x0,0), 4x0^2+y0^2=4,
A(1/x0,0),
B点坐标(0, (4x0^2+y0^2)/y0), 4x0^2+y0^2=4,
B(0,4/y0),M(1/x0,4/y0),
设动点M(x,y),
根据椭圆参数方程,x0=cosθ,y0=2sinθ, 0<θ<π/2
令x=1/x0,y=4/y0,
x0=cosθ,y0=2sinθ,
x=1/cosθ, cosθ=1/x,(1)
y=4/(2sinθ), sinθ=2/y,(2)
两式平方后相加,消去参数θ得:1/x^2+4/y^2=1.
2、应该是向量OM模的最小值,向量OM=(1/x0,4/y0),用椭圆参数方程替换,
(1/cost,4/2sint)=(1/cost,2/sint),
|OM|=√[1/(cost)^2+4/(sint)^2]
=√[(sect)^2+4(csct)^2]
=√[(tant)^2+1+4(cot)^2+4]
=√[5+(tant)^2+4(cot)^2]
在根号内根据均值不等式,
(tant)^2+4(cot)^2≥2√[(tant)^2*4(cot)^2]=4,
|OM|=√(5+4)=3。
最小值为3.
因为x,y是向量OM的两个分量,根据已知条件,向量OM=向量OA+向量OB,
而OA和OB分别和X轴和Y轴方向相同,故
|OM|=√(x^2+y^2).
注意应是向量的模,才仅有数量大小关系。