三角函数公式中积化和差公式的证明

Question

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2 ]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]该如何证明

Answer 1

这是和差化积公式：
令a=(α+β)/2,b=(α-β)/2
∴α=a+b,β=a-b
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

两式相加得：
sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
∴sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

两式相减得：
sin(a+b)-sin(a-b)=2cosasinb
∴sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

剩下的两个式子用cos(a+b)、cos(a-b)，同样可以证明。

Answer 2

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]...(1)
两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]...(2)
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
两式相加得： cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]...(3)
两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]...(4)

用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b
就可得到和差化积的四个式子。
如：(1)式可变为：
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]
其它依次类推即可。

Answer 3