已知关于x的一元二次方程x²+m(m-2x)=2(x-m)的两个实数根分别为x1，x2

Question

若方程有一个根是2，求m的值
若x2>x1>0，2x1+x2≤8，且y=2x2-4x1-4x1，求y的取值范围

②已知关于x的一元二次方程x²+mx+n=0
若n(n≠0)是这个方程的一个实数根，且n-m=3，求n的值

③已知关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个实数根a，b
若m为正整数，求此方程的根
若y=a²-2b²-2a+4b+4，求y的取值范围

Answer 1

由于左边可化为x²-2mx+m²，故等式变为(x-m)(x-m-2)=0。
若方程有一个根是2，则m1=x=2，m2=x-2=0。

若x2>x1>0，则m>m-2>0，m>2。若2x1+x2≤8，则2(m-2)+m≤8，m≤4。y=2x2-4x1-4x1=2m-4(m-2)-4(m-2)=16-6m，因2<m≤4，故-8≤y<4。

由于m=n-3，故等式变为x²+(n-3)x+n=0。因x1+x2=3-n，x1*x2=n，故取x1=1，x2=n=1。

由题知4-4m>=0，故0<m<=1。
若m为正整数，则m=1，x1=x2=1。
因a+b=2,ab=m，故y=a²-2b²-2a+4b+4=y=a²-2a+1-2b²+4b-2+5=(a-1)²-2(b-1)²+5=-(a-1)²+5<=5。