已知圆CX^2+Y^2+2X+aY+1=0,（a属于R）过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C于AB两点，P为线段AB中点求a

Question

1.设E为圆C上异于AB的任意一点，求圆C内接三角形ABE的最大面积
2.从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有MN的绝对值=MP求MN的绝对值的最小值
请作必要解析！！！

Answer 1

圆方程为：(x+1)^2+(y+a/2)^2=a^2/4,

圆心C（-1，-a/2）,l圆与X轴相切于（-1，0）点，半径R=|a/2|,P(0,1)为弦中点，B（-1，0），

半AB弦长为√2，A在X轴射影F，△ABF是等腰RT△，P为AB中点，OP是△BAF的中位线，|OP|=1，|AF|=2|OP|=2，|AB|=2√2，则A（1，2），

代入圆方程，a=-3,R=3/2

圆方程为（x+1）^2+(y-3/2)^2=9/4,

圆心C（-1，3/2）

当E点在AB弦垂直平分线与优弧交点时高最大，此时三角形面积最大，

AB弦心距d=√(R^2-BC^2)=√（9/4-2）=1/2,

△EAB最大高h=R+d=3/2+1/2=2,

S△EAB=AB*(R+d)/2=2√2*2/2=2√2。

2、设M（x0,y0）,C(-1,3/2),P(0,1),

MN^2=MC^2-R^2=（x0+1）^2+(y0-3/2)^2-9/4

MP^2=x0^2+(y0-1)^2,

MN^2=MB^2,

y0=2x0,

M点在y=2x的直线上，

故切点N是B点（-1，0），M点是原点，

故|MN|=1。