过抛物线y=X2的顶点任做两条互相垂直的弦OA和OB。 求证:直线AB恒过一定点； 求AB中点M的轨迹方程

Question

如题所述

Answer 1

证明：假设一个斜率为k>0，那么另一条斜率为-（1/k）,解得两个交点A,B (K,K^2) (-1/k, 1/k^2) , 这样可以得到直线方程 (Y-k^2) * K= (X-k)*(1-k^2) 明显，（0,1）点恰好总满足该方程。 AB恒过（0,1）点。
第二题，主要是怎样把中点X Y 坐标中的K 消掉。 X=(K-1/K) /2 , Y=(K^2+1/K^2)/2 不难发现消掉K的方法。就是 (2X)^2+2=2Y . 那么得到M点的方程。Y=2X^2+1

Answer 2

1. 设A(x1,y1),B(x2,y2)
OA*OB=x1x2+y1y2=0 即x1x2+(x1x2)²=0 x1x2=-1
设直线AB：y=kx+m代人y=x²得 x²-kx-m=0 -m=x1x2=-1 m=1
y=kx+1 过定点（0,1）
2. x²-kx-1=0 x1+x2=k y1+y2=k(x1+x2)+2=k²+2,设中点M(x,y)
即 2x=k 2y=k²+2
消掉k得到y=2x²+1

Answer 3

设A(a,a^2),则B(-1/a,1/a^2)
AB：y-a^2=(a-1/a)(x-a)
恒过(0,1)
M:x=(a-1/a)/2 y=(a^2+1/a^2)/2
消去a ->2y^2-2x^2=1