求解3道线代题目 第一题 设A为m*n实矩阵，且矩阵B=aI+AT(转置)A 试证，当a>0时，矩阵B为正定矩阵

Question

后两题附图片
后两题不需要了 只要第一题啊啊啊啊 求解

Answer 1

因为 B^T = (aI+A^TA)^T = aI+A^TA =B
所以 B也是实对称矩阵

对任一非零n维列向量x
x^TBx
= x^T(aI+A^TA)x
= ax^Tx+x^TA^TAx
= ax^Tx + (Ax)^T(Ax)

因为 a>0, x^Tx>0, (Ax)^T(Ax)>=0
所以 x^TBx > 0

故 B 是正定矩阵.