利用极坐标计算下列二重积分，求过程！

Question

如题所述

Answer 1

　　解：设x=ρcosθ，y=ρsinθ，由题设条件，有0≤θ≤π/2，0≤ρ≤1。
　　∴原式=∫(0,π/2)dθ∫(0,1)[(1-ρ^2)/(1+ρ^2)]^(1/2)ρdρ。
　　而对∫(0,1)[(1-ρ^2)/(1+ρ^2)]^(1/2)ρdρ，再设ρ^2=cos2α，∴∫(0,1)[(1-ρ^2)/(1+ρ^2)]^(1/2)ρdρ=2∫(0,π/4)(sinα)^2dα=∫(0,π/4)(1-cos2α)dα=(π-2)/4，
　　∴原式=(π-2)π/8。
　　供参考。