请问正三棱锥以正三角形为底面时，其三条侧棱两两垂直？这个是其一个性质吗

Question

如题所述

Answer 1

这不是任意一个正三棱锥的性质,而是题目给了PA=PB=PC的条件才推出的性质.
题目已经得到PB⊥PA,PB⊥PC,只要证明PA⊥PC即可
设P在平面ABC内的射影是O,因为PA=PB=PC,而PO是公共边,根据勾股定理得到OA=OB=OC,所以O是外心.又△ABC是正三角形(因为P-ABC是正三棱锥),所以外心,内心,重心,垂心四心合一,O同时也是垂心,所以有OC⊥AB
根据三垂线定理,垂直於射影就垂直於斜线,所以PC⊥AB.又因为PC⊥PB,所以PC⊥面PAB,得到PC⊥PA