柯西不等式的证明方法？

Question

如题所述

Answer 1

柯西不等式：ai,bi∈R，求证:(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2.

我觉得比较简单的方法就是构造法，构造n维向量：α=(a1,a2,...,an)，β=(b1,b2,...,bn).
则 √(a1^2+a2^2+...+an^2)*√(b1^2+b2^2+...+bn^2)=|α|*|β|≥|α|*|β|*cos<α,β>=α*β=a1*b1+a2*b2+...+an*bn.
两边同时平方得：(a1^2+a2^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2.

还有很多其他方法：数形结合法：
柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。

除此还有作差法...等等

Answer 2

Answer 3

如楼上所说,作辅助二次函数可以证明.
其实更简单的,用向量来证.
m=(a1,a2......an)
n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于0，所以：
a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．

Answer 4

[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) 　
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。*表示乘 　　
≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d） 　
=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2
=(a-c)^2+(b-d)^2 　　
两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]