椭圆面积公式是怎么推导出来的？

Question

如题所述

Answer 1

椭圆面积公式:S=π(圆周率)×a×b，其中a、b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长。

椭圆的面积推导方式如下：

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1

取第一象限内面积 有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2

即 y=√(b^2-b^2/a^2*x^2)

=b/a*√(a^2-x^2)

由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据(af(x))'=a*f'(x),且x=a时圆面积为a^2π/4

可得 当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4

即S=abπ。

Answer 2

推导上半面的面积，任取一点(x,y),作小矩形，小矩形面积为dx*y
则面积为ydx在-a到a上的积分，这个积分就等于1/2ab*pai
怎么算那个积分:设a^2-x^2=a*cosz带入可求

Answer 3

纯代数方法：
用仿射变换x1=x/a, y1=y/b. 将椭圆变成单位圆。因为椭圆的A(a,0)；B(0,b); O(0,0)的象为A1(1,0)；B1(0,1); O1(0,0). 而ΔABO的面积为0.5ab。ΔA1B1O1的面积为0.5。因为仿射变换保持面积比不变。单位圆的面积是π。所以椭圆的面积为abπ。

Answer 4

利用定积分算出来的.
椭圆x²/a²+y²/b²=1是中心对称和轴对称,每一个象限的面积都相同,所以可以先算第一象限的面积,再乘以4.
设x²/a²+y²/b²=1在第一象限内确定了一个函数y=f(x),则该区域面积可表示为
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]ydx
由椭圆的参数方程,y=bsint,x=acost,(0≤t≤π/2)得dx=-asintdt
当x从0变到1时,t从π/2变到0

∴∫[0,1]ydx=∫[π/2,0]bsint*(-asintdt)
=-ab∫[π/2,0]sin²tdt
=ab∫[0,π/2]sin²tdt
=ab(x/2-1/4*sin2x)|[0,π/2]
=ab[(π/4-1/4*sinπ)-(0-1/4*sin0)]
=abπ/4
∴S椭圆=4∫[0,1]ydx=πab

Answer 5

1、利用定积分算出来的.
2、椭圆x²/a²+y²/b²=1是中心对称和轴对称,每一个象限的面积都相同,所以可以先算第一象限的面积,再乘以4.
设x²/a²+y²/b²=1在第一象限内确定了一个函数y=f(x),则该区域面积可表示为
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]ydx
由椭圆的参数方程,y=bsint,x=acost,(0≤t≤π/2)得dx=-asintdt
当x从0变到1时,t从π/2变到0

∴∫[0,1]ydx=∫[π/2,0]bsint*(-asintdt)
=-ab∫[π/2,0]sin²tdt
=ab∫[0,π/2]sin²tdt
=ab(x/2-1/4*sin2x)|[0,π/2]
=ab[(π/4-1/4*sinπ)-(0-1/4*sin0)]
=abπ/4
∴S椭圆=4∫[0,1]ydx=πab