已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图像与x轴交于A（x1,0）b（x2,0）（x1＜x2

Question

）两点，与y轴交于点c，x1，x2是方程x²+4x-5=0的两根 若抛物线的顶点为D求S△ABC：S△ACD的值

Answer 1

（2013•内江）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x-5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

 

解：（1）解方程x²＋4x－5＝0，得x＝﹣5或x＝1，
由于x1＜x2，则有x1＝﹣5，x2＝1，

∴A（﹣5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y＝a（x＋5）（x－1）（a＞0），
∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），
令x＝0，得y＝﹣5a，
∴C点的坐标为（0，﹣5a）．
依题意画出图形，如右图所示，

则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，

则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a．
S⊿ACD＝S梯形ADEO－S⊿CDE－S⊿AOC

             ＝1/2﹙DE＋OA﹚·OE－1/2DE·CE－1/2OA·OC

             ＝1/2﹙2＋5﹚·9a－1/2×2×4a－1/2×5×5a

             ＝15a；

S⊿ABC＝1/2AB·OC

             ＝1/2×6×5a

              ＝15a；

∴S⊿ABC∶S⊿ACD＝1∶1。

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