初二数学竞赛题

Question

如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数 的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，
以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
试求直线MN的函数表达式．

Answer 1

先说说思路吧~！（会画图，会设坐标轴上两点M和N的坐标）

第一小问很简单。
拿m当已知的，点斜式列算式，两个方程两个未知数，肯定能解出来。就是算的时候有个小技巧~

第二小问思路是：
主要抓住平行四边形的两点
1，对边斜率相同
2，对边长度相等
同时还有……
1，会直线函数表达式的两点式求法
2，知道两点坐标会求两点间线段长度
便okay啊~！

具体如下：
(1)
反比例函数：y=k/x
所以 m+1=k/m
m-1=k/(m+3)
【两个未知数，两个等式，可以求出m和k的得数
求法：仔细观察可以发现上面两个等式都有k，把m和m+3都移到等式左边】
即，m（m+1）=（m-1）（m+3）
得m=3,k=12

(2)
设，M为（a，0）N为（0，b）
A（3,4） B（6,2）
两点式，求直线函数：y-4=k（x-3），y-2=k（x-6）得k=-2/3
AB两点所在直线函数为：y=-2/3x+6

由于是平行四边形，可得直线MN与AB的斜率相同，k=-2/3
y-0=-2/3(x-a)
y-b=-2/3(x-0)
得b=(2/3)a

又因为是平行四边形，所以线段AB等于线段MN的长度
AB长可得是 根号下[（3-6）的平方+(4-2)平方]=根号13
AB=MN=根号13
根号下[(a-0)的平方-（0-b）的平方]=根号13
将2/3a=b带入上式得 (13/9)a方=13
所以a=3或a=-3

当a=3时，b=2 直线MN的函数为y=-2/3x+2
当a=-3时，b=-2 直线MN的函数为y=-2/3x-2

Answer 2

(1)解：设y=k/x 将A.B带入得：m=3 k=12

Answer 3

解：⑴由题意得m(m+1)=(m+3)(m-1),m=3,∴A﹙3,4),B(6,2),K=12 ⑵设M（a,0),N(0,b) ∵平行四边形2条对角线交于一点，①以AM为对角线，则b+2/2=4+0/2,a+3/2=6+0/2，a=3,b=2 y=-2/3x+2 ②以AN为对角线，则a+6/2=0+3/2,4+b/2=2+0/2,a=-3,b=-2 y=-2/3x+2 ③以AB为对角线，则a+0/2=3+6/2,b+0/2=4+2/2,a=9,b=6 y=-2/3X+6,∵直线AB与MN相同，∴这种情况不成立 ∴y=-2/3x+2&y=-2/3x+2