关于圆方程的最值问题

Question

在圆方程中，有P点（X，Y）

当X+Y最大时点P在哪里？

当X—Y最小时点P在哪里？

XY最大时点P在哪里？

比如说当Y/X最大时P点与原点的连线K值最大。

就用这种方式回答我的问题

谢谢

Answer 1

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 , 用圆的参数方程能很好的解决这类问题：
x=a+rcost，y=b+rsint
1）x+y=a+b+r√2sin(t+π/4),
最大值为a+b+r√2, t=π/4时取得,最小值为a+b-r√2, t=5π/4时取得
这两点是过圆心45度角的直线与圆的两个交点。

2）x-y=a-b-r√2sin(t-π/4),
最大值为a-b+r√2, t=-π/4时取得,最小值为a-b-r√2, t=3π/4时取得
这两点是过圆心-45度角的直线与圆的两个交点。

3）f(t)=xy=ab+rasint+rbcost+r^2sintcost
f'(t)=racost-rbsint+r^2cost(2t)
f'(t)=0--> acost-bsint+rcost(2t)=0， 这可化为一个4次方程，解即为最大最小值点。

4）f(t)=y/x=(b+rsint)/(a+rcost)
f'(t)=0-->rcost(a+rcost)+rsint(b+rsint)=0
-->acost+bsint+r=0
-->sin(t+p)=-r/√(a^2+b^2)
当r<=(a^2+b^2)时方程有两解，即为最大最小值点。