求不定积分时可不可以将被积函数的分子分母同乘一个含有积分变量的式子f(x)，而f(x)在某个点等于0.

Question

例如
这个题x=π/4时，分子分母就同乘0了，那么后面的推导对于π/4这一点也就不成立了，要证明当x取π/4时也满足这个结果吗？如果不要，为什么？

Answer 1

乘以0/0是没问题的，只要这个数对于原式来说不是0/0就可以了

例如∫ dx/(1 + sinx) dx，需乘以1 - sinx化简
当x = π/2时，1 - sinx = 0，但是原式1/(1 + sinx) ≠ 1/0，这积分依然收敛
但是若x = - π/2，原式1/(1 + sinx) = 1/0，这积分明显发散
所以上下限的取值是针对原式来说的，而不管你乘以什麽式子。

对于你那个积分，∫ sinx/(sinx + cosx) dx在点x = π/4是连续的，所以可积。
若x = 3π/4的话，分母sinx + cosx = 0，因为在该点不连续。