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    （15分）点 是抛物线 上的不同两点，过 分别作抛物线 的切线，两条切线交于点 。（1）求证： 是 与 的等差中项；（2）若直线 过定点 ，求证：原点 是 的垂心；（3）在（2）的条件下，求 的重心 的轨迹方程。

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    推荐答案   2014-12-19
    （1）证明见解析。
    （2）证明见解析。
    （3）

    （1）对 　求导　　得 ，
    所以直线 ，即
    同理, 直线 ，解得
    所以 是 与 的等差中项；                     （5分）
    （2）设直线 ，代入  整理得 ．
    ，得   
       即 ；
    ，       ，
    ，     同理 ，
    所以原点 是 的垂心；（10分，只需证明 两个垂直就得满分）
    （3）设 的重心 ，则
    ，

    因为 ，所以点 的轨迹方程为 ．              （15分）
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