不定积分分部积分法的循环法的求解

Question

如题所述

Answer 1

如下图所示，将最后一项移到左边：

一般地，从要求的积分式中将  凑成  是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。

分部积分法最重要之处就在于准确地选取  ，因为一旦  确定，则公式中右边第二项 中的  也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取  则要依  的复杂程度决定，也就是说，选取的  一定要使  比之前的形式更简单或更有利于求得积分。

依照经验，可以得到下面四种典型的模式。 记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（角函数）指（数函数）。

扩展资料：

利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质，通过一次或二次分部积分后，使等式右端再次产生，只要它的系数不为1，就可以利用解方程的方法求出原积分  。

例如，对于积分  和 

按法则对他们进行分部积分得

这样，所求积分均由另一个积分所表示出来，将这两式相加和相减（即解方程）得到所求积分表达式

以及

这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式，比如

Answer 2

∫e^x(sinx)^2dx

=1/2∫e^x(1-cos2x)dx

=1/2∫(e^x-e^xcos2x)dx

=1/2∫e^xdx-1/2∫e^xcos2xdx

=1/2e^x-1/2∫e^xcos2xdx

∫e^xcos2xdx

=∫cos2xde^x

=e^xcos2x+2∫e^xsin2xdx

=e^xcos2x+2∫sin2xde^x

=e^xcos2x+2e^xsin2x-4∫e^xcos2xdx

5∫e^xcos2xdx=e^xcos2x+2e^xsin2x=e^x(cos2x+2sin2x)

∫e^xcos2xdx=1/5e^x(cos2x+2sin2x)

所以，原式1/2e^x-1/10e^x(cos2x+2sin2x)+C

扩展资料：

将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。

不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

参考资料来源：百度百科--分部积分法

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Answer 3

如下图所示，将最后一项移到左边：

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