数学高手帮帮忙吧，高斯公式计算曲面积分……如何算？！！题目如下……算了N久啊

Question

如题所述

Answer 1

解：∵在高斯公式中，令P=xz,Q=R=0。则αP/αx=z,αQ/αy=αR/αz=0
∴由高斯公式得 ∫∫<Σ>xzdydz+∫∫<S>xzdydz=∫∫∫<V>(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
(S表示xy平面上的圆域：x²+y²=1,V表示Σ+S的封闭半球体)
=∫∫∫<V>zdxdydz
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<0,√(R²-r²)>zdz
(做柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>[(R²-r²)/2]rdr
=π(R^4/2-R^4/4)
=πR^4/4
∵∫∫<S>xzdydz=0 (S圆域在yz平面上的投影区域是一条线段，则此积分等于零)
∴ ∫∫<Σ>xzdydz=∫∫∫<V>(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz-∫∫<S>xzdydz
=πR^4/4-0
=πR^4/4。