分析：（1）由正方形与垂线的性质，易证得：△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得DD1与EE1的长，则可求得DD1+EE1的值；
（2）定线段AB长为定值；猜想DD1+EE1=AB；过点C作CH⊥AB，垂足为H；再通过两对全等三角形来证明DD1+EE1=AB即可；
（3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，MQ=12
AB且MQ⊥AB，特殊地，当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．又因为可证明D1A=E1B，所以D1E1的中点就是AB的中点．所以，不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为1
2
AB长的点上”．
解：（1）∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°，
∵四边形ACFD与BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ABC，∠EBE1=∠BAC，
∴△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，
∴DD1 4 =4 5 ，EE1 3 =3 5 ，
∴DD1=16 5 ，EE1=9 5 ；
∴DD1+EE1=5；
（2）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
∴DD1=AK，EE1=BK，
∴DD1+EE1=AB，
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；
（3）设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，
则：MQ=1 2 (DD1+EE1)=1 2 AB且MQ⊥AB，
当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
又∵D1A=CK=E1B，
∴D1E1的中点就是AB的中点．
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，
∴此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为1 2 AB长的点上”．
追问可是我们还没学过相似啊
追答这个题目要等到初三做才合适的
追问∴DD1 4 =4 5 ，EE1 3 =3 5 ，
∴DD1=16 5 ，EE1=9 5 ；
∴DD1+EE1=5；
什么意思
追答∴DD1 /4 =4 /5 ，EE1 /3 =3 /5 ，
∴DD1=16 /5 ，EE1=9 /5 ；
∴DD1+EE1=5；
追问MQ⊥AB
当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立
为什么这么说啊
追答MQ=1/ 2 (DD1+EE1)=1 /2 AB且MQ⊥AB，
四边形DD1E1E是直角梯形是一般情况，MQ是中位线，四边形DD1E1E为矩形是特殊情况