一元函数可微一定可导吗？

Question

如题所述

Answer 1

一元函数中可导与可微等价。 多元函数可微必可导，而反之不成立。


可微的定义：

设函数y= f（x)，若自变量在点 x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数 f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分。

记作dy，即dy=A×Δx，当x=x0时，则记作dy|x=x0。

可导的定义：

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

可导，可微与连续之间的关系：

1、可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

2、可微与连续的关系：可微与可导是一样的。

3、可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。

4、可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

5、可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有“洞”存在，可含有有限个断点。

6、可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。

Answer 2

一元：可导必连续，连续必存在极限，（单向）可微与可导互推多元：一阶偏导连续推出可微，（单向）可微推出（1）偏导存在（单向）（2）函数连续（单向）函数连续推出二重极限存在(单向）/**************************************************************/函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x)，即函数在茄判此点函数值存在，并且等于此点的极限值若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的充要条件是此函数在此点必须连续，并且左导数等于右倒数。（我们老师曾经介绍过一个weierstrass什么维尔斯特拉斯的推导出来的函数处处连续却处处不可导，有兴趣可以查一下）可微在一元函数中与可导等价，在多元函数中，各变量在此点的偏导数存在为其必要条件，其充要条件还要加上在此函数所表示的广义面中在此点领域内不含有[sport.ddhhsj.cn/article/304795.html]
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