极坐标中如何求椭圆的切线方程

Question

求详细过程
已知ρ=ep/(1-ecosθ)

Answer 1

如果已知圆锥曲线方程为f(rou, theta) = 0，求直角坐标系下切线斜率，那么代入：
rou = sqrt (x^2 + y^2)，theta = arc tan (y/x)，就有
f( sqrt (x^2 + y^2) , arc tan (y/x)) = 0 ，两边同时对x求导，注意这里y已经是x的隐函数了，y^2的导数为2yy'。解出y'即可。

如果已知圆锥曲线的直角坐标方程g(x,y) = 0，求极坐标下的切线斜率，那么代入：
x = rou*cos(theta), y = rou*sin(theta)，就有
g(rou*cos(theta) , rou*sin(theta)) = 0
两边同时对theta求导，这里rou 也已经是theta的隐函数。解出rou'即可。

知道切线斜率后，代入切点坐标就能知道切线方程。
附：求椭圆参数方程的切线函数
设椭圆的参数方程为
x=acost,
y=bsint,(t为参数），则
dx=-asintdt,
dy=bcostdt,
∴dy/dx=(-b/a)cott.
∴椭圆的切线方程为y-bsint=(-b/a)cott*(x-acost),
即bxcost+aysint-ab=0.追问

如何不要转到直角坐标，直接求极坐标中的直线方程

追答

不转的我不会。我就有这一种。

Answer 2

还真有这个方程，
跟其他的一样吧，
x=ρcosθ=epcosθ/(1-ecosθ)，
y=ρsinθ=epsinθ/(1-ecosθ)，
dy/dx=(dy/dθ) / (dx/dθ)=[ep(cosθ-e)/(1-ecosθ)^2] / [ep(-sinθ)/(1-ecosθ)^2]
=(e-cosθ)/sinθ

所以切线y-ρsinθ=(e-cosθ)(x-ρcosθ)/sinθ

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Answer 3

Answer 4