矩阵A的转置矩阵A^ T等于什么？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^-1
证明：
那么AA^T=AA^-1=E
设A=(α1,α2,α3,...,αn)^T,其中αi为n维列向量,
那么A^T=(α1,α2,α3,...,αn),
α1^Tα1,α1^Tα2,α1^Tα3,...,α1^Tαn
α2^Tα1,α2^Tα2,α2^Tα3,...,α2^Tαn
那么AA^T=( ...............)=E,
αn^Tα1,αn^Tα2,αn^Tα3,...,αn^Tαn
那么||αi^Tαi||=1,||αi^Tαj||,i≠j,
也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
同理设A=(α1,α2,α3,...,αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交。
这样的矩阵叫做正交矩阵,也就是说A必须是单位矩阵才满足A^T=A^-1。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但是存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。