可测函数列的四种收敛性是指一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛和几乎一致收敛。
1、一致收敛
一致收敛是可测函数列的一种收敛方式，它要求函数列的每一项都在整个定义域上无限接近于极限函数。
一致收敛的定义是：如果对任意正数ε，存在正整数N，使得当n>N时对任意x∈X都有∣fn(x)−f(x)∣<ε，则称fn在X上一致收敛于f。
一致收敛是可测函数列收敛性的最强条件，它蕴含了几乎处处收敛、依测度收敛和几乎一致收敛。
一致收敛的一个重要性质是，如果fn在X上一致收敛于f，则fn和f在任何可测集合上的积分都趋于相等，即∫Afndμ→∫Afdμ对任何可测集合A⊂X成立。
2、几乎处处收敛
几乎处处收敛是可测函数列的另一种收敛方式，它要求函数列的每一项在除了一个零测集之外的定义域上逐点收敛于极限函数。
几乎处处收敛的定义是：如果存在X的可测子集E使得fn在X∖E上逐点收敛到f且μ(E)=0，则称fn在X上几乎处处收敛于f。
几乎处处收敛是可测函数列收敛性的常见条件，它可以推出几乎一致收敛，但不能推出一致收敛或依测度收敛。
几乎处处收敛的一个重要性质是，如果fn在X上几乎处处收敛于f，则fn和f在任何可测集合上的积分都趋于相等，即∫Afndμ→∫Afdμ对任何可测集合A⊂X成立。
3、依测度收敛
依测度收敛是可测函数列的第三种收敛方式，它要求函数列的每一项与极限函数的差值的绝对值大于某个正数的集合的测度趋于零。
依测度收敛的定义是：如果对任意正数ε，当n→∞时有μ({x∈X∣∣fn(x)−f(x)∣≥ε})→0，则称fn依测度收敛于f。
依测度收敛是可测函数列收敛性的最弱条件，它不能推出一致收敛、几乎处处收敛或几乎一致收敛。
依测度收敛的一个重要性质是，如果fn依测度收敛于f，则存在fn的子列fnk使得fnk几乎处处收敛于f，这称为Egorov定理。
4、几乎一致收敛
几乎一致收敛是可测函数列的第四种收敛方式，它要求函数列的每一项在除了一个小测集之外的定义域上一致收敛于极限函数。
几乎一致收敛的定义是：如果对任意正数ε，存在X的可测子集E使得μ(E)<ε且在X∖E上有fnu.f，则称fn几乎一致收敛于f。
几乎一致收敛是可测函数列收敛性的中等条件，它可以由一致收敛或几乎处处收敛推出，但不能推出依测度收敛。
几乎一致收敛的一个重要性质是，如果fn几乎一致收敛于f，则fn和f在任何可测集合上的积分都趋于相等，即∫Afndμ→∫Afdμ对任何可测集合A⊂X成立。