证明：
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
（3）克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
扩展资料
齐次线性方程组解的性质：
1、若x是齐次线性方程组AX=0的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
2、若x1,x2是齐次线性方程组AX=0的两个解，则x1+x2也是它的解。
3、对齐次线性方程组AX=0，若r(A)=r<n，则AX=0存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。
4、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组