证明:
∵|A| A逆=A*
∴|A*|=||A| A逆|=|A|^n |A*逆|
而A可逆,所以|A|≠0且|A*逆|≠0
∴|A*|≠0,即A*可逆,即满秩,r(A*)=n
扩展资料
矩阵的秩的性质:
1、矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
2、 初等变换不改变矩阵的秩。
3、 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。
4、P,Q为可逆矩阵,则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。
5、当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
6、当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。