请问f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是多少？

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=tanx

所以f '(x)=1/cos²x

f "(x)= 2cosx*sinx / (cosx)^4 = 2sinx /(cosx)^3

f "'(x)= [2cosx*(cosx)^3 - 2sinx*3cos²x* (-sinx) ]/ (cosx)^6

于是当x=0时

f(0)=0，f '(0)=1，f "(0)=0，f "'(0)=2

故f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2，+f'''(0)/3!·x^3 +o(x^n) 

=0+ x + 0 + 2/3!·x^3 +o(x^n)

= x + x^3 /3 + o(x^n) 其中o(x^n)为公式的皮亚诺(Peano)余项。

扩展资料：

如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x。

幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

参考资料来源：百度百科--泰勒公式

Answer 2

f(x)=tanx，
所以f '(x)=1/cos²x，
f "(x)= 2cosx*sinx / (cosx)^4 = 2sinx /(cosx)^3
f "'(x)= [2cosx*(cosx)^3 - 2sinx*3cos²x* (-sinx) ]/ (cosx)^6
于是当x=0时，
f(0)=0，f '(0)=1，f "(0)=0，f "'(0)=2

故f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是，
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3 +o(x^n)
=0+ x + 0 + 2/3! ·x^3 +o(x^n)
= x + x^3 /3 + o(x^n) 其中o(x^n)为公式的皮亚诺(Peano)余项本回答被提问者采纳