已知函数f（x）＝cos2x＋sin2x，x∈R。 ⑴求函数f（x）的最小正周期和单调剃增区间⑵求函数f（x）在区...

Question

已知函数f（x）＝cos2x＋sin2x，x∈R。 ⑴求函数f（x）的最小正周期和单调剃增区间⑵求函数f（x）在区间【-pei/8，pei/2】上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值

Answer 1

f（x）＝cos2x＋sin2x
=√2sin(2x+π/4）
⑴求函数f（x）的最小正周期
T=2π/2=π
单调递增区间2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2（k∈Z）
kπ-3π/8≤x≤kπ+π/8(k∈Z）
(2)因-π/8≤x≤π/2
所以0≤2x+π/4≤5π/4
-√2/2≤sin(2x+π/4）≤1
-1≤√2sin(2x+π/4）≤√2
所以2x+π/4=π/2，x=π/8时
f(x)取得最大值√2
2x+π/4=5π/4，x=π/2时
f(x)取得最小值-1

Answer 2

解：（1） f（x）＝cos2x＋sin2x
合一变形 ＝√2 sin(2x+π/4) ………………√2代表根号2
由三角函数性质有 最小正周期T=2π÷2=π
单调增区间[kπ-3π/8，kπ+π/8]
（2） 在此区间上，x∈[-π/8，π/2]
∴ 2x+π/4 ∈[0，5π/4]
∴其最大值为 √2sin π/2 = √2 此时x=π/8
最小值为 √2sin 5π/4=- 1 此时x=π/2

纯手打累死。。。

Answer 3

f（x）＝cos2x＋sin2x=√2sin(2x+π/4)
最小正周期为2π/2=π
单增:
2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8]
所以单调增区间为
[kπ-3π/8,kπ+π/8] k∈z

x在[-π/8,π/2]
2x+π/4∈[0,5π/4]
所以 sin(2x+π/4)∈[-√2/2,1]
最大值为 1 最小值为 -√2/2
当取得最大值1时 x=π/2
当取得最小值-√2/2时 x=π/8

Answer 4

f(x)=√2sin(2x+π/4)
最小正周期为π
单调递增区间为[ ﹣3π/8+kπ, kπ+π/π8]
最小值为f(x)=0,最大值f(x)=√2
最值时x=kπ+π/8 最大
x=﹣3π/8+kπ 最小

Answer 5

（1）
f(x)=cos2x+sin2x=√2[(sin2x)*(√2/2)+(cos2x)*(√2/2)]
=√2[sin2xcos(π/4)+cos2xsin(π/4)]
=√2sin(2x+π/4)
T=2π/2=π
把2x+π/4代入到标准正弦函数y=sinX中解出的结果即为所求：
-π/2+2kπ≤2x+π/4≤π/2+2kπ ==> -3π/8 + kπ ≤ x ≤ π/8 + kπ
单调增区间为：【-3π/8 + kπ ， π/8 + kπ 】

（2）
-π/8≤x≤π/2 ==> 0≤2x+π/4≤5π/4
-√2/2≤sin(2x+π/4)≤1 ==> -1 ≤ f(x) ≤ √2
f(MAX)=√2 当且仅当 x=π/8时取“=”
f(min) =-1 当且仅当 x=π/2时取“=”