正整数开根号写成连分数是否都是循环的？譬如sqrt(3)=[1;1,2,1,2,1,2,...,1

Question

正整数开根号写成连分数是否都是循环的？譬如sqrt(3)=[1;1,2,1,2,1,2,...,1,2,...] 如果可以请简单证明一下

Answer 1

非平方正整数开平方根(二次根号)，写成连分数是否都是循环的？
答：是的。
证：设sqrt(n)=y=m+x, 其中m=int(sqrt(n))，这里int表示取整数部分，有时也用[]或┌　┐
表示。
于是
n=yy,xx+2mx=yy-mm=n-mm，即x(x+2m)=n-mm
于是x+2m=(n-mm)/x
于是1/x=(2m+x)/(n-mm)=...
……

上面的过程还不够完善。请参考下面的例1，看看如何严格化。

注意，平方整数开平方是整数，这是特殊情况。
备考：循环连分数的值能为整数的例子，广义连分数，见例2。

例1：
题：将根号30化为连分数
解：设√(30)=y=5+x
于是xx+10x=5，于是x+10=5/x，
于是1/x=2+x/5=2+1/(x+10)=2+1/(10+1/(1/x))
由此迭代，可构成循环连分数。
即√(30)=5+1/{2+1/(10+1/{})}
我将它写成：√(30)=[5;(2,10)]，其中(2,10)是循环节。
这里得到的是标准连分数形式。

使用广义连分数的话，还可以如下：

设√(30)=y=5+x
于是(y-5)=5/(5+y)
于是y=5+5/(5+y)
由此迭代得到：
√(30)=[5;(5：10)]=5+5/{10+5/(10+5/{})}

注：

这里说的广义连分数[Z；A1:B1,A2:B2,...]=
Z+A1/(B1+A2/(B2+A3/(B3+...))),其中Z,Ai,Bi为整数，可以为负整数。
当Ai限定为1,Bi限定为正整数时即普通连分数，记作[Z；B1,B2,...]
以上答题过程中，对循环节使用()表示。
外一则：
e=[2；1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...]
e=[1; 1:1, -1:3, -2:4, -3:5, -4:5, -5:6, ...]
e=[1; 1:1, 1:6, 1:10, 1:14, ..., 1:(2n+1), ...]
e^x=[1; x:1, -x:x+2, -2x:x+3, -3x:x+4, ...]
e^(2m/n)=[1; 2m:n-m, mm:3n, mm:5n, mm:7n, ...]

pi/4=[0；1:1, 1:2, 9:2, 25:2, ... , n^2:2, ...]=[0; 1:1, 1:3, 4:5, 9:7, 16:9, 25:11, …, nn:(2n+1), ..., ]
pi=[0；4:1, 1:2, 9:2, 25:2, ... , n^2:2, ...]=[0; 4:1, 1:3, 4:5, 9:7, 16:9, 25:11, …, nn:(2n+1), ..., ]
pi=[3; 1:6, 9:6, 25:6, ... , (2n+1)^2 : 6, ..., ]

例2：
题：连分数x=[2; (2: 1)]=2+2/(1+2/(1+2/(1+...)))，求x值。
注：上面的表示法是广义连分数。并且，[2; (2,1)]为循环连分数，()内为循环节。
解：
易见x=2+2/(x-1)
即x(x-1)=2x，即x=0或3.易见x=0不合题意，故x=3.