如图,AB为半圆的直径,C为狐AG的中点,CD⊥AB,垂足为D,AG交CD,CB于E,F两点，求证:AE

Question

求证:AE=CE=EF

Answer 1

解：连结AC。
∵ AB是直径，∴∠ACB＝90°。在直角△ABC中，CD⊥AB
∴ △ABC∽△ACD ∴∠ABC=∠ACD
又∵ C为弧AG的中点， 即弧AC=CG，∴它们对的圆周角∠ABC=∠CAG
∴ ∠ACD=∠CAG，即，∠ACE=∠CAE，△AEC是等腰三角形，AE=CE

∵ 直角△CAF中，∠AFC+∠CAF=90°，且∠ECF+∠ACE=90°
由上已证：∠ACE=∠CAE，即，∠ACE=∠CAF，
∴ ∠AFC=∠ECF，△CEF是等腰三角形，CE=EF
∴ AE=CE=EF

Answer 2

证明：连接CG
∵直径AB
∴∠ACB＝90
∴∠CAB+∠CBA＝90
∵CD⊥AB
∴∠CAB+∠ACD＝90，∠BCD+∠CBA＝90
∴∠CBA＝∠ACD, ∠BCD＝∠CAB
∵C为弧AG的中点
∴弧AC＝弧GC
∴AC＝GC （等弧对等弦）
∴∠CAG＝∠CGA
∵∠CBA、∠CGA所对应圆弧都为劣弧AC
∴∠CBA＝∠CGA
∴∠CBA＝∠CAG
∴∠CAG＝∠ACD
∴AE＝CE
∵∠AFC＝∠BAG+∠CBA＝∠BAG+∠CAG＝∠CAB
∴∠AFC＝∠BCD
∴CE＝EF
∴AE＝CE＝EF