高数极限两个题

Question

1.设X（1）=1，X（n+1）=1+X（n）/（1+X（n）），（n=1,2,3.。。。），求lim（n→∞）X（n）的值。
2.用夹逼定理求lim（n→∞）（a1的N次方+a2的N次方+a3的N次方+。。。。+am的N次方）的1/n次方，其中m为正整数，a1，a2，a3，。。。，am均为正整数。

Answer 1

1、
X（1）=1，X（n+1）=1+X（n）/（1+X（n））=2-1/(1+xn)
故显然1<Xn<2,易得其单调增。故极限存在，极限介于1,2之间，设为a。

对X（n+1）=1+X（n）/（1+X（n））两边取极限。
a=2-1/(1+a)
a^2+a=2a+2-1
a^2-a-1=0
a=[1+(5)^(1/2)]/2（另一个根小于1，删去）

2、取a1,a2,...am中最大的记为a
(a^n)^(1/n)<=原式<=（ma^n)^(1/n)
两边极限均为a
故原式极限为a，即max{a1,a2,...,ak}

Answer 2

1.0<x1<2,x(n+1)=2-1/(1+xn)<2,xn有界.
x(n+1)-xn=1/(1+x(n-1))-1/(1+xn)
=(xn-x(n-1))/(1+xn)(1+x(n-1))
由于x2>x1,故x(n+1)>xn,xn单增有上界，故极限存在，设为a。取极限得：
a=1+a/(1+a)=2-1/(1+a),a=(1+根号5)/2
2.设a1,a2,...,am最大者为a,
a<=原式<=(ma^(n))^(1/n)趋于a
极限为a.

2.

Answer 3

第一问利用当n趋于正无穷时an=a(n+1)算
第二问均值不等式得思路