如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，M是AD边上的动点，若E是AC边上的动点，

Question

如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，M是AD边上的动点，若E是AC边上的动点，则EM+CM的最小值为（），若E是AC边上的定点，且AE=1，则EM+CM的最小值是

Answer 1

当E是动点时，M是动点

连接BM

∵△ABC是等边三角形

AD⊥BC

∴BM=CM

∴EM+CM=EM+BM

∴当B,M,E三点重合，

即BE⊥AC时，有最小值

此时E是AC中点

∴BE=2√3

∴EM+CM有最小值=√12=2√3

第二问：

当E是顶点，M是动点

在AB上取一点F，使AF=AE=1，连接MF，

∵△ABC是等边三角形

AF=AE

AD⊥BC

∴△AMF≌△AME

∴MF=ME

∴EM+CM=FM+CM

当F,M,C在一条直线上时，EM+CM有最小值=CF

作CG⊥AB于G

∵△ABC是等边三角形

∴AG=2，GF=1

CG=2√3

在直角△CGF中

CF=√13

EM+CM有最小值=√13

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Answer 2

1、连接BM，CM=BM,EM+CM=EM+BM,所以当BME三点共线且直线BE垂直于AC时，EM+CM的值最小为2√3
2、设DM=x，MC^2=DM^2+DC^2,所以MC=√x^2+4
在三角形AME中 ME^2=AM^2+AE^2-2*AM*AE*COS(<MAE) 所以ME=√(2√3-x)^2+√3x-6
MC+EM=√(x^2+4)+√((2√3-x)^2+√3x-6)
根据a^2+b^2>=2ab
MC+EM的最小值应该在MC=EM的时候取得，即
√(x^2+4)=√((2√3-x)^2+√3x-6)，0<x<4
解得X=√3/3 满足条件
所以MC+EM的最小值为(2/3)*√39