初三二次函数

Question

1.已知二次函数y=(m-2)x^2+(m+3)x+(m+2)的图像经过点(0,5)
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式
（2）求出二次函数的顶点坐标和对称轴
（3）若点p是x轴下方抛物线上一点，则点p的坐标为何值时，三角形PAB的面积最大，并求出最大面积。
2.已知二次函数Y=kx^2+bx+3与x轴没有交点，且顶点在y轴上，求k和b的取值范围。
3.二次函数y=ax^2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值和交点坐标

要有计算过程

Answer 1

1.已知二次函数y=(m-2)x^2+(m+3)x+(m+2)的图像经过点(0,5)
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式
解：
将坐标(0,5)代入，
5=m+2
m=3
再带回原式，得解析式：
y=x^2+6x+5
（2）求出二次函数的顶点坐标和对称轴
解：
根据一元二次函数性质，
对称轴：x=-b/(2a)=-3
将x=-3代入，y=-4
所以
对称轴：x=-3
顶点坐标(-3,-4)
（3）若点p是x轴下方抛物线上一点，则点p的坐标为何值时，三角形PAB的面积最大，并求出最大面积。
解：
漏条件了，AB应该是函数与x轴交点
y=x^2+6x+5=(x+1)*(x+5)
所以A、B坐标分别为(-1,0), (-5,0)
因为底边AB的长为定值：|AB|=4
所以当高取最大值时三角形面积最大，即y取最小值，即p点为函数顶点，此时高为|-4|=4
此时S△PAB=4*4/2=8

2.已知二次函数Y=kx^2+bx+3与x轴没有交点，且顶点在y轴上，求k和b的取值范围。
解：
因为顶点在y轴上，所以函数对称轴为x=0
所以-b/(2k)=0
所以b=0
因为函数与x轴没有交点所以Δ<0
因为b=0，所以即-12k<0
所以k>0

3.二次函数y=ax^2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值和交点坐标
解：
a≠0
且Δ=0
Δ=(a-3)^2-4a=0
a^2-10a+9=0
(a-1)*(a-9)=0
a=1或9
a=1时，将y=0代入原式，交点为：(0,-1)
a=9时，将y=0代入原式，交点为：(0,1/3)