柯西不等式证明:若abc=1,1/(√a)+1/(√b)+1/(√c)<=a+b+c

Question

xiejings_88:
(√abc)=1/(√a)+1/(√b)+1/(√c)这是什么意思
是否写错
与下文不符

(a+b+c)(b+c+a)>=(√bc+√ac+√ab)^2
即：(a+b+c)>=(√bc+√ac+√ab) 当a/b=b/c=c/a 即a=b=c时取等号。

证得好

Answer 1

abc=1 (√abc)=1 (√abc) =
1/(√a)+1/(√b)+1/(√c)
=√abc/(√a)+(√abc) /(√b)+(√abc) /(√c)
=√bc+√ac+√ab
只需证明：√bc+√ac+√ab<=a+b+c
柯西不等式:
(a+b+c)(b+c+a)>=(√bc+√ac+√ab)^2
即：(a+b+c)>=(√bc+√ac+√ab) 当a/b=b/c=c/a 即a=b=c时取等号。
所以原式成立。

Answer 2

因为abc=1,原不等式等价于√ab+√ac+√bc<=a+b+c
等价于0<=(√a-√b)^2+(√a-√c)^2+(√b-√c)^2
显然成立