无穷小量和有界量的乘积是无穷小量只有在有界量存在极限时才成立么？

Question

例如求(1/n)*sin n 当n趋向于正无穷时的极限，可以这样解么？

1/n是无穷小量，sin n 是有界量，所以 极限等于0.
正确么》？

Answer 1

只需要有界，不需要有界量有极限。

liman=0，{bn}有界。

根据定义：

任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|an-0|<ε。

存在M>0，对任意n，都有|bn|≤M。

现在考虑an*bn。

对上述ε>0，存在N>0，当n>N，|an*bn|<Mε。

由定义知，limanbn=0。

无穷小量

是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。

Answer 2

只需要有界，不需要有界量有极限
这个证明起来也很容易
lim an=0，{bn}有界
根据定义：
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|an-0|<ε
存在M>0，对任意n，都有|bn|≤M
现在考虑an*bn
对上述ε>0，存在N>0，当n>N，|an*bn|<Mε
由定义知，
lim anbn=0
所以，你举的那个例子是完全正确的
有不懂欢迎追问追问

看懂了，谢谢。：）

追答

不用~~

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Answer 3

可以的。追问

我们高数老师说只有有界量的极限存在时才正确，是为什么？？谢谢。

追答

那老师的回答是错的。比如sin n就无极限
设f是无穷小，g有界，|g|《M
|fg-0|《|f|M→0
fg→0

追问

谢谢，看懂了。