证明:cosna=2cosacosn-1a - cosn-2a

Question

如题所述

Answer 1

可以用数学归纳法。
(1)当n=1时，右＝2cosa·cos0 -cos(-a)=2cosa-cosa=cosa，成立；
(2)假设n=k时等式成立，即
cosna=2cosa·cos(n-1)a - cos(n-2)a
那么
cos(n+1)a=cos(na+a)
=cosnacosa-sinnasina
=[2cosa·cos(n-1)a - cos(n-2)a]cosa -sinnasina
=2cosa[cos(n-1)acosa - cos(n-2)acosa+-sinnasina
=2cosa[cos(n-1)acosa -sin(n-1)asina] -cos(n-2)acosa+2cosasin(n-1)asina-sinnasina
=2cosacosna-cos(n-2)acosa+sina{2cosasin(n-1)a -sin[(n-1)a+a]}
=2cosacosna-cos(n-2)acosa+sina{2cosasin(n-1)a -sin[(n-1)a+a]}
=2cosacosna-cos(n-2)acosa+sina[cosasin(n-1)a -cos(n-1)asina]
=2cosacosna-cos(n-2)acosa+sinasin(n-2)a
=2cosacosna-cos[(n-2)a +a]
=2cosacosna-cos(n-1)a
从而 n=k+1时，等式也成立。
所以 等式对n∈N，n≥1都成