所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1]公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA。等积式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明） (5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD[1]直角三角形射影定理的证明 ：（主要是从三角形的相似比推算来的） 一、在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD^2=AD·DC。其余同理可得可证[1]有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA两式相加得：AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .即勾股定理。[1] 注： AB^2的意思是AB的2次方
二、
已知:三角形中角A=90度,AD是高.用勾股证射影∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,∴2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BC+BD)(BC-BD)-CD^2=(BC+BD)CD-CD^2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD^2=BD×CD.运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。[1] 内容任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。证明证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余。
证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的。面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。”COSθ=S射影/S原(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。