抽屉原理
抽屉原理在小学数学教材中没有作为知识向同学们介绍,但它却是我们解决数学问题的一种重要的思考方法。
抽屉原理最早是由德国数学家狄利克雷最早发现的,所以也叫做狄利克雷重叠原则。
下面我们就一起来研究“抽屉原理”。
【典型例题】
1. 第一抽屉原理:把个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至少有个物体。
例如:把3个苹果放入2个抽屉中,必然有一个抽屉中有2个苹果。
2. 若把5个苹果放到6个抽屉中,就必然有一个抽屉是空着的。这称为第二抽屉原理:把个物体放在n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有个物体。
3. 构造抽屉的方法:
在我们利用抽屉原理思想解决数学问题时,关键是怎样把题目中的数量相对应的想成苹果和抽屉,所以构造“抽屉”是解题的关键。下面我们就通过例题介绍常见的构造“抽屉”的思想方法。
例1. 用“数的分组法”构造抽屉。
从1,2,3,……,100这100个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定有:(1)2个数互质;(2)2个数的差为50;(3)8个数,它们的最大公约数大于1。
分析与解答:
(1)将100个数分成50组
{1,2},{3,4},……,{99,100}。
在选出的51个数中,一定有2个数属于同一组,这一组的2个数是相邻的整数,它们一定是互质的。
(2)我们可以将100个数分成下面这样的50组:
{1,51},{2,52},……,{50,100}。
在选出的51个数中,必有2个数属于同一组,这一组的2个数的差为50。
(3)将100个数分成5组(一个数可以在不同的组内):
第一组:2的倍数,即{2,4,……,100};
第二组:3的倍数,即{3,6,……,99};
第三组:5的倍数,即{5,10,……,100};
第四组:7的倍数,即{7,14,……,98};
第五组:1和大于7的质数,即{1,11,13,……,97}。
第五组中一共有22个数,所以选出的51个数中至少有29个数在第一组到第四组中,根据抽屉可以知道总会有8个数在第一组到第四组的某一组中,这8个数的最大公约数大于1。