利用球面坐标计算三重积分

Question

∫∫∫x^3yzdxdydz，期中Ω是由曲面x^2+y^2+z^2=1与曲面x=0,y=0,z=0围成的在第一卦限的闭区域。。顺便问下在球面坐标下x^2+y^2+z^2=r^2吗？   计算详细点 谢谢。

Answer 1

坐标变换：x=rsinacosb，y=rsinasinb，z=rcosa，0<=r<=1,0<=a<=pi/2,0<=b<=pi/2。
原积分=积分（从0到1）dr积分（从0到pi/2）da
积分（从0到b）r^3sin^3acos^3b*rsinasinb*rcosa*r^2sinadb
=积分（从0到1）r^7dr 积分（从0到pi/2）sin^5acosa da 积分（从0到pi/2）cos^3bsinb db
=1/8* (sin^6a)/6|上限pi/2下限0 --(cos^4b)/4|上限pi/2下限0
=1/8*1/6*1/4
=1/192。