求不定积分∫1/(3+cosx)dx， cosx是cosx=(1-t^2)/(1+t^2)，这是怎么得到的

Question

如题所述

Answer 1

第二换元法的一种：
这是将三角函数化为有理函数的解法。
令t = tan(x/2)
x = 2arctan(t)，dx = 2 * 1/(1 + t²) dt = 2dt/(1 + t²)

sinx = 2sin(x/2)cos(x/2) = 2sin(x/2)/cos(x/2) * cos²(x/2)
= 2tan(x/2)/sec²(x/2) = 2tan(x/2)/[1 + tan²(x/2)]
= 2t/(1 + t²)

cosx = 2cos²(x/2) - 1 = 2/sec²(x/2) - 1
= 2/[1 + tan²(x/2)] - 1 = 2/(1 + t²) - 1
= [2 - (1 + t²)]/(1 + t²)
= (1 - t²)/(1 + t²)

tanx = sinx/cosx = [2t/(1 + t²)]/[(1 - t²)/(1 + t²)] = 2t/(1 - t²)

所以∫ dx/(3 + cosx)
= ∫ 1/[3 + (1 - t²)/(1 + t²)] * 2dt/(1 + t²)
= 2∫ dt/[3(1 + t²) + (1 - t²)] dt
= 2∫ dt/(4 + 2t²) = ∫ dt/(2 + t²)
= (1/√2) * arctan(t/√2) + C
= (1/√2)arctan[(tan(x/2))/√2] + C

我的回答最详细，求采纳，谢谢。

Answer 2

是万能公式吧

设t=tan(x/2)

那么tanx=2t/(1-t^2),sinx=2t/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2)追问

、、cosx==(1-t^2)/(1+t^2)是怎么 得到的？

追答

t=tan(x/2)tanx=2t/(1-t^2)
构建一个直角三角形，其中一个角是x
那么两直角边是2t和1-t^2
由勾股定理求得斜边是1+t^2

所以cosx=(1-t^2)/(1+t^2)

追问

能不能再详细点，不要省略任何一个解答

追答

令t=tan(x/2)
那么x=2arctan(t)
dx=2dt/(1+t²)

所以∫dx/(3+cosx)
=∫[2dt/(1+t²)]/[3+(1-t²)/(1+t²)]
=∫2dt/[3(1+t²)+(1-t²)]
=∫dt/(2+t²)
=(1/√2)*∫d(t/√2)/[1+(t/√2)²]
=(1/√2)*arctan(t/√2)+C=(1/√2)arctan[tan(x/2)/√2]+C

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Answer 3

这是万能代换公式,在高等数学书中讲三角有理式的积分部分有。
设tan(x/2)=t,因为cosx={1-tan²(x/2)}/{1+tan²(x/2)}=(1-t^2)/(1+t^2)追问

t=tan(x/2)是怎样导出的sinx和cosx

追答

sinx=sin2(x/2)
=2sin(x/2)cos(x/2)
={2sin(x/2)/cos(x/2)}{cos²(x/2)} 下一步用到了 1+tan²(x/2)=1/cos²(x.2)
=2tan(x/2)/(1+tan²(x/2))