E如图，△ABC是等边三角形，F是BC的中点，G是AF上的任意一点，D在BG的延长线上，且AD=AC，AE平分∠CAD交BD

Question

于E。
（1）求∠AEB的度数。（我已经做出来了）
（2）求证：AE+ED=BE；
（3）若BG=DE，求AF/DE的值。

Answer 1

(1)解：延长AE交CD于点P

设∠CAE=x，∠ABE=y

AE平分∠CAD，那么：∠CAE=∠EAD=x

AD=AC

AP=AP

∠CAP=∠DAP

 

所以：△CAP≌△DAP

 

在△ABD中，AB=AD

∠ABD=∠ADB=y

 

∠AEB=∠EAD+∠ADE=x+y

又因为：在△ABE中，∠ABE+∠BAC+∠CAP+∠AEB=180°

则：y+60°+x+x+y=180°

x+y=60°

所以：∠AEB=60°

 

(2)证明：

在BE上取M点，使AM=AE，连AM

可知△AEM为等边三角形

则：AE=EM

 

因为：∠ABM=∠ADE，∠AMB=∠AED

所以：∠BAM=∠DAE       ①

又因为：AB=AD                ②

AE=AM                              ③

由①②③得：△ABM≌△ADE（SAS）

因此：BM=ED

则：AE+ED=EM+BM=BE

 

 

(3)解：

因为：BG=DE

那么由第二问结论可知：BE=AE+ED=BG+GE

则：GE=AE                               ④

由第一问可知：∠AEB=60°       ⑤

④⑤可得：△AGE为等边三角形

则：∠AGE=60°

 

又因为：△ABC是等边三角形，F是BC的中点

所以：AF平分∠BAC

∠BAG=∠BAC/2=60°/2=30°

 

从而：∠ABG=∠AGE-∠BAG=60°-30°=30°

△ABC是等边三角形，∠ABC=60°

所以：∠ABG=∠GBC=30°

则：BG是∠B的平分线

 

由AF，BG均为等边三角形ABC的角平分线

知：G为等边三角形ABC的内点

则：BG=AG=(2/3)*AF

AF/BG=3/2

又因为：BG=DE

所以：AF/DE=3/2 

Answer 2

∠AEB=60
BE上取H点，使AH=AE，连AH，可知△AEH为等边三角形；
证△ABH≌△ADE（显然AB=AD、AE=AH、∠ABH=∠ADE，∠AHB=∠AED，得∠BAH=∠DAE）
那么有BH=DE，∴AE+ED=HE+BH=BE；
如果BG=DE，那么由BE=BG+GE=AE+ED可知
GE=AE，那么AGE为等边三角形，∠AGE=60
∠ABG=∠AGE-∠BAG=60-30=30
BG是∠B的平分线，BG=2/3AF、BG=DE，AF/DE=3/2
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Answer 3

解：延长AE交CD于点P
设∠CAE=x，∠ABE=y
AE平分∠CAD，那么：∠CAE=∠EAD=x
AD=AC
AP=AP
∠CAP=∠DAP

所以：△CAP≌△DAP

在△ABD中，AB=AD
∠ABD=∠ADB=y

∠AEB=∠EAD+∠ADE=x+y
又因为：在△ABE中，∠ABE+∠BAC+∠CAP+∠AEB=180°
则：y+60°+x+x+y=180°
x+y=60°
所以：∠AEB=60°

(2)证明：
在BE上取M点，使AM=AE，连AM
可知△AEM为等边三角形
则：AE=EM

因为：∠ABM=∠ADE，∠AMB=∠AED
所以：∠BAM=∠DAE
又因为：AB=AD
AE=AM
由①②③得：△ABM≌△ADE（SAS）
因此：BM=ED
则：AE+ED=EM+BM=BE

(3)解：
因为：BG=DE
那么由第二问结论可知：BE=AE+ED=BG+GE
则：GE=AE
∠AEB=60°
△AGE为等边三角形
则：∠AGE=60°

又因为：△ABC是等边三角形，F是BC的中点
所以：AF平分∠BAC
∠BAG=∠BAC/2=60°/2=30°

从而：∠ABG=∠AGE-∠BAG=60°-30°=30°
△ABC是等边三角形，∠ABC=60°
所以：∠ABG=∠GBC=30°
则：BG是∠B的平分线

由AF，BG均为等边三角形ABC的角平分线
知：G为等边三角形ABC的内点
则：BG=AG=(2/3)*AF
AF/BG=3/2
又因为：BG=DE
所以：AF/DE=3/2