课堂上,同学们就经过圆内一点(非圆心)的弦的长短问题发生了争论.四位同学提出了四种不同的说法

Question

课堂上,同学们就经过圆内一点(非圆心)的弦的长短问题发生了争论.四位同学提出了四种不同的说法:
小刚:"过圆内一点的无数条弦中,有最长的弦,但是没有最短的弦."
小亮:"过圆内一点的无数条弦中,有最短的弦,但是没有最长的弦."
小莹:"过圆内一点的无数条弦中,有且只有一条弦最长,也有且只有一条弦最短."
你认为他们谁说的对?说说你的理由,,,,求解啊,,,要过程

Answer 1

正确的说法是：小莹:"过圆内一点的无数条弦中,有且只有一条弦最长,也有且只有一条弦最短."

 

最长的弦就是过这点的直径。因为这个点（非圆心），所以最长的弦唯一。

最短的弦就是与过这点的直径垂直的弦，也唯一。

 

直径是圆最长的弦：

如图甲，仍作一条不过圆心的弦AB，容易证明AB<BC.

 

如图乙，作过点J（圆内一不是圆心的已知点）两条弦，其中HI⊥OJ，

作OM⊥LK，因为OJ>OM，所以HI<LK

这就是说HI是圆内最短的弦。

Answer 2

这个没法说求解过程
我说给你听吧，不懂追问
1.如果这个点是圆心，那么他的每条弦都是一样长的
2.如果不是圆心，那么此点与圆心的延长线交的弦就是最长的弦，即为直径，与此线相垂直的线即为最短弦
证明方法是，那个什么第二定律，忘记名字了
望采纳追问

那个什么第二定律是啥啊

追答

那个我说不清
给你简单的理解下
你画画看，那条垂直在直径上的最短边
然后再通过给的那个点随便画一条直线
那条直线和圆点的垂线是不是肯定比最短直线的要短！！
画画看！
望采纳！

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Answer 3

小莹说的对。
设P是圆O内非圆心的任意一点，那么过P的直径AB是圆O中最长的弦；过P且垂直于AB的弦CD是圆O中最短的弦。
因为直径是圆内最长的弦，已无须证明。下面借助基本不等式证明CD是圆O中最短的弦。
因为CD⊥AB，所以CP=PD。设有过P点的另一弦EF不与AB垂直，则EP≠PF。据圆幂定理知CP*PD=EP*PF=AP*PB，又据基本不等式知：若两正数的乘积一定，当且仅当这两数相等时该两数的和最小，可见CP+PD=CD最小，CD是圆O中最短的弦。