函数的原函数是否一定连续？

Question

比较分段函数。如果不是分段函数的话，想要可导，必然需要连续的。
非分段函数应该是连续的，那么
分段函数的原函数是否一定连续？

Answer 1

无论什么样的函数，只要存在原函数，则原函数一定是可导函数，因此一定是连续的。分段函数的话就分段积分得到的原函数也是分段的。

原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，

故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

扩展资料：

由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。

已知函数f(x)= 求f(3)的值。

解：由3∈（－∞，6），知f(3)=f(3+2)=f(5),

又5∈（－∞，6）,所以f(5)=f(5+2)=f(7).

又由7∈[6，+∞）所以f(7)=7－2=5，因此，f(3)=5。

求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。

参考资料：百度百科--原函数

Answer 2

无论什么样的函数，只要存在原函数，则原函数一定是可导函数，因此一定是连续的。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

呃~首先这个问题，问得比较奇怪“有原函数的函数不一定连续”，条件是有原函数的函数，结论是该函数（有原函数的那个函数，即导函数）不一定连续，不够严谨，概念模糊；然后第一次回答这样推不正确，可导函数连续对的，第二句话“在定义域内连续”呃，必然的，最后一句话大错了，小区间存在怎么可以推出在大区间存在呢~教科书上反例很多；第二次问“只要有原函数的函数，在定义域内一定连续”，这个定义域是指原函数还是导函数的？
看到最后一次回答才明白你想问的，相当于问“原函数连续（在定义域内），其导函数不一定连续（在原函数的定义域内）”~而导函数不一定连续有两种情况，（1）不一定处处可导，定义域为原函数真子集（2）处处可导但，但导函数有间断点；用反证法很容易证出来，“原函数连续，其导函数一定连续”：（1）y=|x|连续，但其导函数在x=0处无定义域；（2）分段函数y=√(1-x^2)(-1≤x≤1),y=f(x) 其他，原函数连续但其导函数在x=1，-1上间断。（1）和（2）任意一个例子都可以作为原命题的反例~从而可得“原函数连续（在定义域内），其导函数不一定连续（在原函数的定义域内）”。

Answer 4

是