如何证明一个抛物线的焦点弦两交点的切线的交点交于它的准线？

Question

如题所述

Answer 1

设抛物线方程为y^2=2px(p>0),①
其焦点弦AB所在直线方程为x=my+p/2,代入上式得y^2-2mpy-p^2=0,
设A(my1+p/2,y1),B(my2+p/2,y2),则y1+y2=2mp,y1y2=-p^2,
对①求导得2yy'=2p,∴y'=p/y,
∴抛物线①过A或B的切线方程是y-y1=(p/y1)[x-(my1+p/2)],
y-y2=(p/y2)[x-(my2+p/2)],
即y1y-y1^2=p[x-(my1+p/2)],②
y2y-y2^2=p[x-(my2+p/2)],
相减得(y1-y2)[y-(y1+y2)]=-mp(y1-y2),y1≠y2,
∴y-(y1+y2)=-mp,y=mp,
代入②，mpy1-y1^2=px-mpy1-p^2/2,
2mpy1+p^2/2-y1^2=px,而y1^2=2p(my1+p/2),
∴x=-p/2.
∴命题成立。