我想求两个向量的夹角，一条向量作为基准线，当顺时针时，得到角度做为正数角度，当逆时针为负角

Question

我知道这个可以通过向量内积夹角公式来计算夹角，但我想通过基准线来，判断夹角的正负，这个怎么判断。比如我三个点是a(x1,y1) b(x2,y2) c(x3,y3) ，先在把ab向量做为y轴，b点为新的原点，以与ab垂直的轴为x轴，这样我计算出夹角的正负应该可以把？夹角我现在可以计算出来主要是夹角的正负怎样计算？

Answer 1

郭敦顒回答：
“一条向量作为基准线，当顺时针时，得到角度做为正数角度，当逆时针为负角
”，还是按通常规定“一条向量作为基准线，当逆时针时，得到角度做为正数角度，当顺时针为负角”吧。
向量OA到向量OB的夹角＜AOB=θ，逆时针方向为正角，则
向量OA×向量OB=－向量OB×向量OA，那么向量OB到向量OA所成的夹角
＜BOA=－θ，是顺时针方向为负角。＜AOB=θ与＜BOA=－θ的相对位置没变，为
直观显著起见，将＜BOA=－θ沿向量OB方向平移至＜B′O′A′=θ′，（O′重合于B）则，
＜B′O′A′=＜BOA，θ′=－θ，θ′即为负角，且|θ′|=θ，
向量O′B′=向量OB，向量O′A′=向量OA。
B′

θ′
B（0′） A′

θ，－θ
O A追问

比如我三个点是a(x1,y1) b(x2,y2) c(x3,y3) 方便写出公式吗？

追答

郭敦顒继续回答：
向量OB到向量OC的夹角∠BOC=β，逆时针方向为正角；
向量OB到向量OAR夹角∠BOA=α，顺时针方向为负角。 C(x3,y3) B(x2,y2) c b β α O a A(x1,y1) |向量OA|= a，|向量OB|=b，|向量OC|= c三角形面积公式：S△BOC=（1/2）cbsinβ，S△BOA=（1/2）basinα

Answer 2

我想这就不是向量的夹角了，但是可以用向量的夹角方法来求
设两个射线a、b，旋转角为θ，（θ有正有负，由逆时针、顺时针定）
逆时针:θ=2Kπ +<向量a，向量b>
顺时针:θ=2Kπ -<向量a，向量b>追问

能把具体公式写出来吗？ a(x1,y1) b(x2,y2) c(x3,y3)

追答

比如:向量ab是基准线，判断向量ab与向量ac的角
cos
=(向量ab∙ 向量ac)/|向量ab|∙| 向量ac|
=[( x2-x1)(x3-x1)+( y2-y1)(y3-y1)] / √[ ( x2-x1)²+( y2-y1)²]√[ ( x3-x1)²+( y3-y1)²]【结果设为m吧】
【就是向量夹角公式啦】
∴=arccosm

然后判断向量ac是顺时针还是逆时针【光看点位置是不可能知道的，因为同样的向量ac即可以看成是向量ab顺时针转的，也可以看成是向量ab逆时针转的，所以要看你的规定或是题目了】

逆时针:θ=2Kπ +=2Kπ +arccosm (K就控制你要旋转多少圈了）

顺时针:θ=2Kπ - =2Kπ - arccosm

追问

我之前的条件不充足，我补充条件如下，把b点做为新的原点，把ab向量做为y轴，把与ab垂直的向量作为x轴，夹角正负我可以求出来了？怎样计算正负？

追答

夹角正负是有逆顺来定，但是图像怎么反映逆顺呢？

比如下图：

这个向量bc可以看成向量ba逆时针旋转π/4、9π/4…… 也可以看成是向量ba顺时针旋转7π/4、15π/4……也就是说这个旋转角可以看成正，也可以看成负，得人为定的

    我们只能依靠<向量bc，向量ba>=π/4

看成逆时针:θ=2Kπ +π/4（K>=0）  即为正数π/4、9π/4……

看成顺时针:θ=2Kπ -π/4（K>=1）  即为负数7π/4、15π/4……

追问

这个应该算是坐标系偏移方面的知识了吧，我只想知道在我的新坐标系里 我的c 值在新的坐标系里是正数还是负数。

追答

你不是要夹角的正负吗？怎么是c 值的正负？
如果你想用c 点坐标来表达逆时针或是顺时针，我建议你不用向量，用解析几何的到角公式。
设直线ba的斜率为K1,直线bc的斜率为K2，直线ba到直线bc的角为θ。
则tanθ=（K2-K1）/（1+K2K1）
K1、K2得用a(x1,y1) b(x2,y2) c(x3,y3)的坐标来表示，

同时，若tanθ>0，则直线ba逆时针到直线bc
若tanθ<0，则直线ba顺时针到直线bc；且|θ|就是旋转的角度