圆的切线及弦长

Question

已知点M（3,1），直线ax－y＋4＝0及圆（x－1）∧2+（y－2）∧2＝4
求过M点的圆的切线方程。
若直线ax－y＋4＝0与圆相切。求a的值
若直线ax－y+4＝0与圆相交于A,B两点。且弦A,B的长为2√3,求a的值

Answer 1

设过M点圆的切线方程:
y-1=k(x-3)
-kx+y-1+3k=0
它到圆（x－1）∧2+（y－2）∧2＝4的圆心(1,2)距离为2
请记住点(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离公式:
|Aa+Bb+C|/根号(A^2+B^2)
于是:|-k*1+2-1+3k|/根号(k^2+1)=2
|2k+1|^2=4(k^2+1)
4k^2+4k+1=4k^2+4
4k=3
k=3/4
切线方程为:y=3/4(x-3)+1 即:3x-9+4-4y=0 即:3x-4y-5=0

直线ax－y＋4＝0与圆相切则(1,2)到直线ax－y＋4＝0的距离为2
则:|a*1-2+4|/根号(a^2+1)=2
|a+2|^2=4(a^2+1)
a^2+4a+4=4a^2+4
3a^2-4a=0
a=0 or a=4/3